ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข แสดงโดย P(A|B ) คือความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ 'A' เนื่องจากเหตุการณ์ 'B' ได้เกิดขึ้นแล้ว
สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข -
P(A|B) = P( A⋂B ) / P(B)
ทฤษฎีบทของเบย์ส
เป็นสูตรที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พึ่งพาซึ่งกันและกัน กล่าวคือ ให้ความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
กำหนดเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B อีกเหตุการณ์หนึ่งตามทฤษฎีบทของเบย์
P(A/B) ={P(B/A) * P(A)} / P(B)
ให้ได้มาซึ่งสูตรสำหรับทฤษฎีบทของเบย์
สำหรับสิ่งนี้ เราจะใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P( A?B ) / P(B) —— 1 P(B|A) = P( B?A ) / P(A) —— 2
เรารู้ว่า A⋂B และ B⋂A เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ค่าของ B⋂A ด้วยสมการ A⋂B 2 ได้
P(B/A) = P(A⋂B) / P(A) P(B/A) * P(A) = P(A⋂B) —- 3
ตอนนี้ ใช้ค่านี้สำหรับ A?B ในสมการที่ 1 เราจะได้สูตรทฤษฎีบทของเบย์
P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B) อนุพันธ์บางส่วนสำหรับทฤษฎีบทของเบย์ส์
กฎของผลิตภัณฑ์
ดังแสดงในสมการที่ 3 กล่าวว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งสองที่จะเกิดขึ้นในการทดลองเดียวกันนั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่เป็นหลักฐาน
P(A?B) = P(A/B) * P(B)
จากกฎนี้ เราจะได้สูตรสำคัญสองสูตร −
หาก A⊆B คือ A เป็นสับเซตของ B ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต A อยู่ในเซต B ดังนั้น
P(A⋂B) = P(A), then P(A/B) = P(A) / P(B)
หาก B⊆A คือ B เป็นสับเซตของ A ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต B อยู่ในเซต A ดังนั้น
P(A⋂B) = P(B), then P(A/B) = 1
ทฤษฎีบทของเบย์ทำให้เกิดเหตุการณ์มากกว่าสามเหตุการณ์ -
ถ้าเรามีเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาซึ่งกันและกันมากกว่าสามเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้
P(X1/Y) = (P(X1)*P(Y/X1) / [P(X1 * P(Y/X1)) + P(X2 * P(Y/X2)) + P(X3 * P(Y/X3)) + …]
