ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability) ที่แทนด้วย P(A|B) คือ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ 'A' โดยที่เหตุการณ์ 'B' ได้เกิดขึ้นแล้ว
สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข:
P(A|B) = P(A⋂B) / P(B)
ทฤษฎีของเบย์ (Bayes' Theorem)
เป็นสูตรที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่ขึ้นกันได้ (mutually dependent events) คือ ให้ความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของพวกเขา
ให้เหตุการณ์ A และอีกเหตุการณ์หนึ่ง B ตามทฤษฎีของเบย์:
P(A|B) = {P(B|A) * P(A)} / P(B)
มาดูการนำสูตรทฤษฎีเบย์มาใช้กัน:
เราจะใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข:
P(A|B) = P(A⋂B) / P(B) --- (1) P(B|A) = P(B⋂A) / P(A) --- (2)
เรารู้ว่า A⋂B และ B⋂A เป็นสิ่งเดียวกัน ดังนั้นเราสามารถแทนค่า B⋂A ด้วย A⋂B ในสมการ (2) ได้
P(B|A) = P(A⋂B) / P(A) P(B|A) * P(A) = P(A⋂B) --- (3)
ตอนนี้ ใช้นิพจน์นี้สำหรับ A⋂B ในสมการ (1) เราจะได้สูตรทฤษฎีเบย์
P(A|B) = {P(B|A) * P(A)} / P(B)
กฎการคูณ (Product Rule)
แสดงในสมการ (3) ระบุว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองจะเกิดขึ้นในทดลองเดียวกัน เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หลักฐาน (evidence event)
P(A⋂B) = P(A|B) * P(B)
จากกฎนี้ เราสามารถนำสูตรสำคัญ 2 สูตรมาได้:
ถ้า A ⊆ B คือ A เป็นสับเซตของ B หมายถึง ทุกสมาชิกของเซต A อยู่ในเซต B แล้ว
P(A⋂B) = P(A), ดังนั้น P(A|B) = P(A) / P(B)
ถ้า B ⊆ A คือ B เป็นสับเซตของ A หมายถึง ทุกสมาชิกของเซต B อยู่ในเซต A แล้ว
P(A⋂B) = P(B), ดังนั้น P(A|B) = 1
ทฤษฎีเบย์สำหรับเหตุการณ์มากกว่า 3 เหตุการณ์
ถ้าเรามีเหตุการณ์ที่ขึ้นกันได้มากกว่า 3 เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของพวกเขาจะมีความสัมพันธ์ดังนี้:
P(X1|Y) = (P(X1)*P(Y|X1)) / [P(X1*P(Y|X1)) + P(X2*P(Y|X2)) + P(X3*P(Y|X3)) + ...]
