ในเอกสารต้นฉบับของ Bertrand เขาอธิบายการพิสูจน์ที่ขึ้นอยู่กับสูตรทั่วไปสำหรับจำนวนลำดับที่น่าพอใจซึ่งใช้ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำ
ตัวอย่าง
ให้มีผู้ลงคะแนน 5 คน โดย 3 คนโหวตให้ผู้สมัคร A และ 2 คะแนนสำหรับผู้สมัคร B (ดังนั้น p =3 และ q =2) ลำดับการโหวตมีความเป็นไปได้สิบประการ -
-
AAABB
-
AABAB
-
เอบีเอบี
-
BAAAB
-
AABBA
-
อาบาบา
-
บาบา
-
เอบีเอ
-
บาบา
-
BBAAA
สำหรับคำสั่ง AABAB จะมีการนับคะแนนเสียงเมื่อการเลือกตั้งดำเนินไปด้านล่าง −
| ผู้สมัคร | ก | ก | ข | ก | ข |
|---|---|---|---|---|---|
| ก | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| ข | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |
สำหรับแต่ละคอลัมน์ การนับสำหรับ A จะมากกว่าคะแนนสำหรับ B เสมอ ดังนั้น A จึงอยู่ข้างหน้า B อย่างเคร่งครัด สำหรับลำดับ AABBA การนับคะแนนในขณะที่การเลือกตั้งดำเนินไปมีดังนี้ -
| ผู้สมัคร | ก | ก | ข | ข | ก |
|---|---|---|---|---|---|
| ก | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| ข | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 |
สำหรับคำสั่งนี้ B จะเสมอกับ A หลังจากการโหวตครั้งที่สี่ ดังนั้น A ไม่ได้อยู่ข้างหน้า B อย่างเคร่งครัดเสมอไป จาก 10 คำสั่งที่เป็นไปได้ A จะอยู่ก่อน B เสมอเฉพาะในกรณีของ AAABB และ AABAB ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ A จะอยู่ข้างหน้าอย่างเคร่งครัดคือ 2/10=1/5 และนี่จะเท่ากับ 3-2 / 3+2 ตามที่ทฤษฎีบทคาดการณ์ไว้
