ในเอกสารต้นฉบับของ Bertrand เขาอธิบาย proof ที่พึ่งพา general formula สำหรับจำนวน favorable sequences โดยใช้ recursion relation
ตัวอย่าง
สมมติมีผู้โหวต 5 คน 3 คนโหวตให้ผู้สมัคร A และ 2 คนโหวตให้ B (p = 3, q = 2) มี 10 ลำดับที่เป็นไปได้ −
- AAABB
- AABAB
- ABAAB
- BAAAB
- AABBA
- ABABA
- BAABA
- ABBAA
- BABAA
- BBAAA
สำหรับลำดับ AABAB tally ของโหวตตามความคืบหน้าคือ
| Candidate | A | A | B | A | B |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| B | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |
สำหรับแต่ละคอลัมน์ tally ของ A มากกว่า B เสมอ ดังนั้น A นำอยู่เสมอ สำหรับ AABBA tally คือ
| Candidate | A | A | B | B | A |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| B | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 |
ในลำดับนี้ B เสมอกับ A หลังโหวตครั้งที่ 4 ดังนั้น A ไม่นำเสมอ จาก 10 ลำดับ A นำเสมอแค่ AAABB และ AABAB ความน่าจะเป็นคือ 2/10 = 1/5 เท่ากับ (3-2)/(3+2) ตามทฤษฎี
