กลุ่ม วงแหวน และสาขาเป็นองค์ประกอบที่สำคัญของสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าพีชคณิตนามธรรมหรือพีชคณิตสมัยใหม่ ในพีชคณิตนามธรรม มันเกี่ยวข้องกับเซตที่มีองค์ประกอบและสามารถดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตได้ กล่าวคือ มันสามารถรวมสององค์ประกอบของชุด บางทีได้หลายวิธี และสามารถรับองค์ประกอบที่สามของชุดได้
กลุ่ม
กลุ่ม (G) ถูกระบุโดย {G,∙} เป็นกลุ่มขององค์ประกอบที่มีการดำเนินการแบบไบนารี ′ ∙ ′ ที่มีคุณสมบัติสี่ประการ คุณสมบัติของกรุ๊ปมีดังนี้ −
-
ปิด − หาก a และ b เป็นองค์ประกอบของ G ดังนั้น c =a ∙ b ก็เป็นองค์ประกอบของเซต G ด้วยเช่นกัน ซึ่งสามารถกำหนดได้ว่าผลลัพธ์ของการใช้การดำเนินการกับสององค์ประกอบในเซตนั้นเป็นอีกองค์ประกอบหนึ่งในเซต
-
สมาคม − ถ้า a, b และ c เป็นองค์ประกอบของ G ดังนั้น (a ∙ b) ∙ c =a ∙ (b ∙ c) หมายความว่าไม่มีสารในลำดับที่สามารถใช้การดำเนินการกับองค์ประกอบที่สูงกว่าสององค์ประกอบ
-
ตัวตน − สำหรับ a ใน G ทั้งหมด จะมีองค์ประกอบ e ใน G รวมถึง e ∙ a =a ∙ e =a.
-
ผกผัน − สำหรับแต่ละ a ใน G จะมีองค์ประกอบ a' ที่เรียกว่าค่าผกผันของ a ซึ่ง a ∙ a′ =a′ ∙ a =e.
กลุ่มคือกลุ่ม abelian หากตรงตามคุณสมบัติสี่ประการต่อไปนี้มากกว่าหนึ่งคุณสมบัติเพิ่มเติมของการสลับสับเปลี่ยน
การเปลี่ยนแปลง − สำหรับ a และ b ทั้งหมดใน G เรามี a ∙ b =b ∙ a.
แหวน − วงแหวน R แสดงด้วย {R, +, x} มันคือชุดขององค์ประกอบที่มีการดำเนินการแบบไบนารีสองตัวที่เรียกว่าการบวกและการคูณรวมถึง a, b, c ใน R ทั้งหมด สัจพจน์ต่อไปนี้จะถูกเก็บไว้ -
-
R เป็นกลุ่ม abelian เกี่ยวกับการบวกที่ R มีคุณสมบัติตรงตาม A1 ถึง A5 ในวิธีการของกลุ่มสารเติมแต่ง มันบ่งชี้องค์ประกอบเอกลักษณ์เป็น 0 และผกผันของ a เป็น − a.
-
(M1):ปิดภายใต้การคูณ − ถ้า และ b เป็นของ R แล้ว ab ก็อยู่ใน R ด้วย
-
(M2):ความสัมพันธ์ของการคูณ − a(bc)=(ab)c สำหรับ a, b, c ใน R.
-
(M3):กฎหมายการกระจาย −
a(b+c)=ab + ac สำหรับทุก a, b, c ใน R
(a+b)c=ac+bc สำหรับ a, b, c ทั้งหมดใน R
-
(M4):การสับเปลี่ยนของการคูณ − ab=ba สำหรับทุก a, b ใน R.
-
(M5):เอกลักษณ์การคูณ − มีองค์ประกอบ 1 ใน R รวมถึง a1=1a สำหรับ a ใน R ทั้งหมด
-
(M6):ไม่มีตัวหารศูนย์ − ถ้า a, b ใน R และ ab =0 ดังนั้น a =0 หรือ b =0
ฟิลด์ − ฟิลด์ F ถูกระบุด้วย {F, +, x} มันคือชุดขององค์ประกอบที่มีการดำเนินการไบนารีสองอันที่เรียกว่าการบวกและการคูณ ซึ่งรวมถึง a, b, c ใน F ทั้งหมด สัจพจน์ต่อไปนี้จะถูกเก็บไว้ -
-
F1 คือโดเมนจำนวนเต็มที่ F เป็นไปตามสัจพจน์ A1 ถึง A5 และ M1 ถึง M6
-
(M7):การคูณผกผัน − สำหรับแต่ละ a ใน F ยกเว้น 0 มีองค์ประกอบ a −1 ใน F ว่า aa -1 =( -1 )a=1.
