ปัญหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องในการรักษาความปลอดภัยข้อมูลคืออะไร?

ให้ G เป็นเซตไซคลิกจำกัดที่มีองค์ประกอบ n โดยถือว่ากลุ่มถูกเขียนแบบทวีคูณ ให้ b เป็นตัวสร้างของ G ดังนั้นแต่ละองค์ประกอบ g ของ G สามารถเขียนได้ในรูปแบบ g =b ^k สำหรับจำนวนเต็ม k.

ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเต็มสองตัวใดๆ ที่กำหนด g จะเท่ากัน โมดูโล n มันสามารถเป็นตัวแทนของบันทึกการทำงาน_b :G → Z_n (โดยที่ Z_n ระบุวงแหวนของจำนวนเต็ม โมดูโล n) โดยการสร้างถึง g คลาสคอนกรูเอนซ์ของ k โมดูโล n ฟังก์ชันนี้เป็น isomorphism แบบกลุ่มที่รู้จักกันในชื่ออัลกอริธึมแบบไม่ต่อเนื่องไปยังฐาน b

ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะพีชคณิตนามธรรมและการประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ล็อกอัลกอริธึมธรรมดา_a (b) เป็นคำตอบของสมการ a ^x =b ส่วนจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

เท่ากันถ้า g และ h เป็นองค์ประกอบของกลุ่มไซคลิกจำกัด G แล้วคำตอบ x ของสมการ g ^x =h เรียกว่าลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องกับฐาน g ของ h ในกลุ่ม G

บันทึกแบบไม่ต่อเนื่องมีประวัติยาวนานในทฤษฎีจำนวน ในขั้นต้น พวกเขาถูกใช้โดยทั่วไปในการคำนวณในพื้นที่จำกัด อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างคลุมเครือเท่านั้นเช่น Integer Factorization Problem (IFP)

เครื่องมือที่สำคัญที่สุดสำหรับการนำระบบเข้ารหัสสาธารณะของคีย์สาธารณะมาใช้คือปัญหาการบันทึกแบบแยกส่วน (DLP) มีอัลกอริธึมการเข้ารหัสที่ทันสมัยซึ่งได้รับความนิยมบางส่วนซึ่งมีพื้นฐานมาจากการรักษาความปลอดภัยบน DLP มันขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของปัญหานี้ Diffie-Hellman แนะนำโครงการข้อตกลงหลักของ Diffie-Hellman ที่รู้จักกันดีในปี 1976

ตัวอย่าง

• ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องเรียนรู้ได้ง่ายที่สุดในกลุ่ม (Z_p ). นี่คือกลุ่มของคลาสที่สอดคล้องกัน (1,…., p – 1) ภายใต้โมดูโลการคูณ, เฉพาะ p.

• ถ้าจำเป็นต้องหายกกำลัง k ของตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งในกลุ่มนี้ ก็สามารถทำได้โดยการค้นหายกกำลัง k เป็นจำนวนเต็ม แล้วจึงค้นหาหลักจากนั้นหารด้วย p

• กระบวนการนี้เรียกว่าการยกกำลังแบบไม่ต่อเนื่อง

• ตัวอย่างเช่น พิจารณา (Z₁₇ ) ^x . สามารถคำนวณได้ 3 ⁴ ในกลุ่มนี้จะคำนวณก่อน 3 ⁴ =81 จึงสามารถหาร 81 ด้วย 17 ได้เศษ 13

• ดังนั้น 3 ⁴ =13 ในกลุ่ม (Z₁₇ ) ^x . ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องเป็นเพียงการดำเนินการผกผันเท่านั้น เช่น หาสมการได้ 3 ^k =13 (mod 17) สำหรับ k.

• ในนี้ k =4 เป็นคำตอบ ตั้งแต่ 3 ¹⁶ ≡ 1(mod 17) มันก็ตามมาด้วยว่าถ้า n เป็นจำนวนเต็มแล้ว 3 ⁴⁺¹⁶ⁿ ≡ 13 x 1 ⁿ ≡ 13 (สมัย 17)

• ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบของรูปแบบ 4 + 16n อย่างไม่สิ้นสุด นอกจากนี้ เนื่องจาก 16 เป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุด m ที่น่าพอใจ3 ^m ≡ 1 (สมัย 17), ผม. อี , 16 คือลำดับของ 3 ใน (Z₁₇ ) ^x มีวิธีแก้ไขเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน การแก้ปัญหาสามารถกำหนดได้เป็น k ≡ 4 (mod)16

• ไม่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณลอการิทึมล็อกทั่วไปแบบแยกส่วน_b g เป็นที่รู้จัก