การหาค่าผกผันของเมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์จอร์แดนใน C++

ในปัญหานี้ เราได้รับ 2D matrix mat[][] งานของเราคือ หาค่าผกผันของเมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์จอร์แดน .

ทีนี้มาทำความเข้าใจพื้นฐานของปัญหากัน

MATRIX เป็นอาร์เรย์ของตัวเลขสองมิติ

ตัวอย่าง

$\begin{bmatrix}2&5&4 \\1&6&7 \\9&3&8\end{bmatrix}$

ผกผันของเมทริกซ์ [A-1] −

เป็นการดำเนินการบนเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับเมทริกซ์เพื่อให้มีค่าผกผัน -

• เมทริกซ์เริ่มต้นควรเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส

• ต้องเป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์

• เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ฉันมีอยู่สำหรับเมทริกซ์ A นั้น

$$AA^{-1} =A^{-1}.A =I$$

เป็นสูตรที่สามารถใช้หาค่าผกผันของเมทริกซ์ที่ให้มดได้ มันคือ

$A^{-1}\:=\:\left(\frac{adj(A)}{\det(A)}\right)$

adj(A) คือ ส่วนต่อประสานของเมทริกซ์ A

det(A) เป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A.

พวกมันมีหลายวิธีที่ใช้กับ เราสามารถหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ได้ ในบทความนี้ เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับ Gauss Jordan Method ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า การบังคับแถวเบื้องต้น .

มันเป็นวิธีการทีละขั้นตอนเพื่อค้นหาผกผันของเมทริกซ์ นี่คือขั้นตอนที่เกี่ยวข้อง -

• การหาเมทริกซ์เสริมโดยใช้เมทริกซ์เอกลักษณ์

• ค้นหารูปแบบระดับของเมทริกซ์โดยดำเนินการลดแถวบนเมทริกซ์เสริมที่พบในขั้นตอนที่ 1

• การดำเนินการบางอย่างที่สามารถทำได้บนเมทริกซ์เสริมในกระบวนการคือ

  • การสลับแถว (คุณสามารถเปลี่ยนสองแถวใดก็ได้)

  • การคูณ (แต่ละองค์ประกอบของแถวสามารถคูณด้วยค่าคงที่อื่นที่ไม่ใช่ 0)

  • การแลกเปลี่ยนแถว (แทนที่แถวด้วยผลรวมของแถวและผลคูณค่าคงที่ของเมทริกซ์อีกแถวหนึ่ง)

ตัวอย่าง

โปรแกรมเพื่อแสดงการทำงานของโซลูชันของเรา

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void printMatrixValues(float** arr, int n, int m){
   for (int i = 0; i < n; i++) {
      for (int j = 0; j < m; j++) {
         cout<<arr[i][j]<<"\t";
      }
      cout<<endl;
   }
   return;
}
void printInverseMatrix(float** arr, int n, int m){
   for (int i = 0; i < n; i++) {
      for (int j = n; j < m; j++) {
         printf("%.3f\t", arr[i][j]);
      }
      cout<<endl;
   }
   return;
}
void findInvMatGaussJordan(float** mat, int order){
   float temp;
   printf("The inverse of matrix : A = \n");
   printMatrixValues(mat, order, order);
   for (int i = 0; i < order; i++) {
      for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
         if (j == (i + order))
            mat[i][j] = 1;
      }
   }
   for (int i = order - 1; i > 0; i--) {
      if (mat[i - 1][0] < mat[i][0]) {
         float* temp = mat[i];
         mat[i] = mat[i - 1];
         mat[i - 1] = temp;
      }
   }
   for (int i = 0; i < order; i++) {
      for (int j = 0; j < order; j++) {
         if (j != i) {
            temp = mat[j][i] / mat[i][i];
            for (int k = 0; k < 2 * order; k++) {
               mat[j][k] -= mat[i][k] * temp;
            }
         }
      }
   }
   for (int i = 0; i < order; i++) {
      temp = mat[i][i];
      for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
         mat[i][j] = mat[i][j] / temp;
      }
   }
   cout<<"A' =\n";
   printInverseMatrix(mat, order, 2 * order);
   return;
}
int main(){
   int order = 3;
   float** mat = new float*[20];
   for (int i = 0; i < 20; i++)
   mat[i] = new float[20];
   mat[0][0] = 6; mat[0][1] = 9; mat[0][2] = 5;
   mat[1][0] = 8; mat[1][1] = 3; mat[1][2] = 2;
   mat[2][0] = 1; mat[2][1] = 4; mat[2][2] = 7;
   findInvMatGaussJordan(mat, order);
   return 0;
}

ผลลัพธ์

The inverse of matrix : A =
6 9 5
8 3 2
1 4 7
A' =
-0.049  0.163  -0.011
0.205  -0.141  -0.106
-0.110  0.057  0.205