ค้นหา Square Root ภายใต้ Modulo p (เมื่อ p อยู่ในรูปของ 4*i + 3) ใน C++

ในปัญหานี้ เราได้รับสองค่า n และจำนวนเฉพาะ p งานของเราคือค้นหา Square Root ภายใต้ Modulo p (เมื่อ p อยู่ในรูปของ 4*i + 3) โดยที่ p อยู่ในรูปแบบ (4*i + 3) เช่น p % 4 =3 สำหรับ i> 1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะ

นี่คือตัวเลขบางส่วน 7, 11, 19, 23, 31...

มาดูตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจปัญหากัน

Input : n = 3, p = 7
Output :

แนวทางการแก้ปัญหา

วิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายคือการใช้ลูป เราจะวนซ้ำจาก 2 ถึง (p - 1) และสำหรับทุกค่า ให้ตรวจสอบว่ากำลังสองของมันคือรากที่สองภายใต้ modulo p เป็น n

ตัวอย่าง

โปรแกรมเพื่อแสดงการทำงานของโซลูชันของเรา

#include <iostream>
using namespace std;
void findSquareRootMod(int n, int p) {
   n = n % p;
   for (int i = 2; i < p; i++) {
      if ((i * i) % p == n) {
         cout<<"Square root under modulo is "<<i;
         return;
      }
   }
   cout<<"Square root doesn't exist";
}
int main(){
   int p = 11;
   int n = 3;
   findSquareRootMod(n, p);
   return 0;
}

ผลลัพธ์

Square root under modulo is 5

อีกวิธีหนึ่งคือการใช้สูตรโดยตรง

หาก p อยู่ในรูปแบบ (4*i + 3) และสำหรับรากที่สองที่มีอยู่ มันจะเป็น $+/-n^{(p+1)/4}$

ตัวอย่าง

โปรแกรมเพื่อแสดงการทำงานของโซลูชันของเรา

#include <iostream>
using namespace std;
int calcPowerVal(int x, int y, int p) {
   int res = 1;
   x = x % p;
   while (y > 0) {
      if (y & 1)
      res = (res * x) % p;
      y /= 2;
      x = (x * x) % p;
   }
   return res;
}
void squareRoot(int n, int p) {
   if (p % 4 != 3) {
      cout << "Invalid Input";
      return;
   }
   n = n % p;
   int sr = calcPowerVal(n, (p + 1) / 4, p);
   if ((sr * sr) % p == n) {
      cout<<"Square root under modulo is "<<sr;
      return;
   }
   sr = p - sr;
   if ((sr * sr) % p == n) {
      cout << "Square root is "<<sr;
      return;
   }
   cout<<"Square root doesn't exist ";
}
int main() {
   int p = 11;
   int n = 4;
   squareRoot(n, p);
   return 0;
}

ผลลัพธ์

Square root under modulo is 9