ในปัญหานี้ เราได้รับสองค่า n และจำนวนเฉพาะ p งานของเราคือค้นหา Square Root ภายใต้ Modulo p.
มาดูตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจปัญหากัน
Input : n = 4, p = 11 Output : 9
แนวทางการแก้ปัญหา
เราจะใช้ Tonelli-Shanks Algorithm .
อัลกอริทึม Tonelli-Shanks ใช้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนเพื่อแก้ปัญหาหาค่า x ที่สอดคล้องกันของรูปแบบ x2 =n (mod p)
อัลกอริทึมในการค้นหาโมดูโลสแควร์รูทโดยใช้อัลกอริทึม Tonelli ของก้าน -
ขั้นตอนที่ 1 − หาค่าของ $(n^{((p-1)/2)})(mod\:p)$ ถ้าค่าของมันคือ p -1 สแควร์รูทแบบแยกส่วนจะไม่สามารถทำได้
ขั้นตอนที่ 2 − จากนั้นเราจะใช้ค่า p - 1 เป็น (s * 2 e ). โดยที่ s เป็นคี่และเป็นบวก และ e เป็นบวก
ขั้นตอนที่ 3 − คำนวณค่า q^((p-1)/2)(mod p) =-1
ขั้นตอนที่ 4 − ใช้ลูปสำหรับ m ที่มากกว่า 0 และอัปเดตค่าของ x
หา m ที่ b^(2^m) - 1(mod p) โดยที่ 0 <=m <=r-1.
ถ้า M เป็น 0 ให้คืนค่า x ไม่เช่นนั้นจะอัปเดตค่า
x = x * (g^(2 ^ (r - m - 1)) b = b * (g^(2 ^ (r - m)) g = (g^(2 ^ (r - m - 1)) r = m
ตัวอย่าง
โปรแกรมเพื่อแสดงการทำงานของโซลูชันของเรา
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int powerMod(int base, int exponent, int modulus) {
int result = 1;
base = base % modulus;
while (exponent > 0) {
if (exponent % 2 == 1)
result = (result * base)% modulus;
exponent = exponent >> 1;
base = (base * base) % modulus;
}
return result;
}
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0)
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}
int orderValues(int p, int b) {
if (gcd(p, b) != 1) {
return -1;
}
int k = 3;
while (1) {
if (powerMod(b, k, p) == 1)
return k;
k++;
}
}
int findx2e(int x, int& e) {
e = 0;
while (x % 2 == 0) {
x /= 2;
e++;
}
return x;
}
int calcSquareRoot(int n, int p) {
if (gcd(n, p) != 1) {
return -1;
}
if (powerMod(n, (p - 1) / 2, p) == (p - 1)) {
return -1;
}
int s, e;
s = findx2e(p - 1, e);
int q;
for (q = 2; ; q++) {
if (powerMod(q, (p - 1) / 2, p) == (p - 1))
break;
}
int x = powerMod(n, (s + 1) / 2, p);
int b = powerMod(n, s, p);
int g = powerMod(q, s, p);
int r = e;
while (1) {
int m;
for (m = 0; m < r; m++) {
if (orderValues(p, b) == -1)
return -1;
if (orderValues(p, b) == pow(2, m))
break;
}
if (m == 0)
return x;
x = (x * powerMod(g, pow(2, r - m - 1), p)) % p;
g = powerMod(g, pow(2, r - m), p);
b = (b * g) % p;
if (b == 1)
return x;
r = m;
}
}
int main() {
int n = 3;
int p = 13;
int sqrtVal = calcSquareRoot(n, p);
if (sqrtVal == -1)
cout<<"Modular square root is not exist";
else
cout<<"Modular square root of the number is "<<sqrtVal;
} ผลลัพธ์
Modular square root of the number is 9
