ในปัญหานี้ เราได้รับจำนวนเฉพาะ N หน้าที่ของเราคือพิมพ์รากดั้งเดิมของจำนวนเฉพาะ N โมดูโล N
รากดั้งเดิม ของจำนวนเฉพาะ N คือจำนวนเต็ม x ที่วางอยู่ระหว่าง [1, n-1] โดยที่ค่าทั้งหมดของ xk (mod n) โดยที่ k อยู่ใน [0, n-2] จะไม่ซ้ำกัน
มาดูตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจปัญหากัน
Input: 13 Output: 2
ในการแก้ปัญหานี้ เราต้องใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า Ouler's Totient Function .
ฟังก์ชันโทเชียนของออยเลอร์คือการนับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ซึ่งค่อนข้างสำคัญกับจำนวน n
จำนวน i เป็นจำนวนเฉพาะถ้า GCD (i, n) =1
ในการแก้ปัญหา หากลำดับการคูณของ x โมดูโล n เท่ากับฟังก์ชันโทเอนเชียนต์ของออยเลอร์ ตัวเลขนั้นจะเป็นรูทดั้งเดิม มิฉะนั้น จะไม่เป็นเช่นนั้น เราจะตรวจสอบหาจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ทั้งหมด
หมายเหตุ:ฟังก์ชันโทเชียนของออยเลอร์ของจำนวนเฉพาะ n=n-1
โค้ดด้านล่างจะแสดงการใช้งานโซลูชันของเรา
ตัวอย่าง
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrimeNumber(int n) {
if (n <= 1) return false;
if (n <= 3) return true;
if (n%2 == 0 || n%3 == 0) return false;
for (int i=5; i*i<=n; i=i+6)
if (n%i == 0 || n%(i+2) == 0)
return false;
return true;
}
int power(int x, unsigned int y, int p) {
int res = 1;
x = x % p;
while (y > 0){
if (y & 1)
res = (res*x) % p;
y = y >> 1;
x = (x*x) % p;
}
return res;
}
void GeneratePrimes(unordered_set<int> &s, int n) {
while (n%2 == 0){
s.insert(2);
n = n/2;
}
for (int i = 3; i <= sqrt(n); i = i+2){
while (n%i == 0){
s.insert(i);
n = n/i;
}
}
if (n > 2)
s.insert(n);
}
int findPrimitiveRoot(int n) {
unordered_set<int> s;
if (isPrimeNumber(n)==false)
return -1;
int ETF = n-1;
GeneratePrimes(s, ETF);
for (int r=2; r<=ETF; r++){
bool flag = false;
for (auto it = s.begin(); it != s.end(); it++){
if (power(r, ETF/(*it), n) == 1){
flag = true;
break;
}
}
if (flag == false)
return r;
}
return -1;
}
int main() {
int n= 13;
cout<<" Smallest primitive root of "<<n<<" is "<<findPrimitiveRoot(n);
return 0;
} ผลลัพธ์
Smallest primitive root of 13 is 2
