โปรแกรม C++ ทำ LU Decomposition (การย่อย LU) ของเมทริกซ์

LU Decomposition คือการย่อยเมทริกซ์ให้เป็นผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangular Matrix - L) และเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper Triangular Matrix - U) โดยที่ L มีค่า 0 ทุกค่าที่อยู่เหนือแนวทแยง และ U มีค่า 0 ทุกค่าที่อยู่ใต้แนวทแยง

ตัวอย่าง LU Decomposition

Given matrix (A):
1 1 0
2 1 3
3 1 1

L matrix (Lower):
1  0  0
2 -1  0
3 -2 -5

U matrix (Upper):
1  1  0
0  1 -3
0  0  1

ตรวจสอบ: L × U = A ✓

โค้ดโปรแกรม LU Decomposition

#include <iostream>
using namespace std;

void LUdecomposition(float a[10][10], float l[10][10], float u[10][10], int n) {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        // คำนวณคอลัมน์ที่ i ของ L
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (j < i)
                l[j][i] = 0;
            else {
                l[j][i] = a[j][i];
                for (k = 0; k < i; k++)
                    l[j][i] -= l[j][k] * u[k][i];
            }
        }
        // คำนวณแถวที่ i ของ U
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (j < i)
                u[i][j] = 0;
            else if (j == i)
                u[i][j] = 1;
            else {
                u[i][j] = a[i][j] / l[i][i];
                for (k = 0; k < i; k++)
                    u[i][j] -= (l[i][k] * u[k][j]) / l[i][i];
            }
        }
    }
}

int main() {
    float a[10][10], l[10][10], u[10][10];
    int n, i, j;
    
    cout << "Enter size of square matrix: ";
    cin >> n;
    cout << "Enter matrix values:" << endl;
    for (i = 0; i < n; i++)
        for (j = 0; j < n; j++)
            cin >> a[i][j];
    
    LUdecomposition(a, l, u, n);
    
    cout << "L Decomposition:" << endl;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++)
            cout << l[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    
    cout << "U Decomposition:" << endl;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++)
            cout << u[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

ผลลัพธ์ตัวอย่าง

Enter size of square matrix: 3
Enter matrix values: 1 1 0 2 1 3 3 1 1
L Decomposition:
1 0 0
2 -1 0
3 -2 -5
U Decomposition:
1 1 0
0 1 -3
0 0 1

การประยุกต์ใช้

• แก้ระบบสมการเชิงเส้น Ax = b
• หา determinant ของเมทริกซ์ (det(A) = det(L) × det(U))
• หา inverse matrix
• ใช้ในวิธีเชิงตัวเลขและวิศวกรรมคำนวณ