เส้นทางและวงจรออยเลอร์

เส้นทางออยเลอร์เป็นเส้นทางที่เราสามารถเยี่ยมชมทุกขอบได้ในครั้งเดียว เราสามารถใช้จุดยอดเดียวกันได้หลายครั้ง วงจรออยเลอร์เป็นเส้นทางออยเลอร์ชนิดพิเศษ เมื่อจุดยอดเริ่มต้นของเส้นทางออยเลอร์เชื่อมโยงกับจุดยอดสิ้นสุดของเส้นทางนั้นด้วย ก็จะเรียกว่าวงจรออยเลอร์

ในการตรวจจับเส้นทางและวงจร เราต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขเหล่านี้ -

• ต้องเชื่อมต่อกราฟ
• เมื่อจุดยอดสองจุดมีดีกรีเป็นคี่ มันคือเส้นทางออยเลอร์
• เมื่อไม่มีจุดยอดของกราฟที่ไม่บอกทิศทางมีดีกรีเป็นคี่ ก็จะเป็นวงจรออยเลอร์

อินพุตและเอาต์พุต

Input:
Adjacency matrix of a graph.
0 1 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0

Output:
The graph has an Eulerian path.

อัลกอริทึม

สำรวจ (u, เยี่ยมชม)

อินพุต: โหนดเริ่มต้น u และโหนดที่เข้าชมเพื่อทำเครื่องหมายว่าโหนดใดถูกเยี่ยมชม

ผลลัพธ์ − ข้ามจุดยอดที่เชื่อมต่อทั้งหมด

Begin
   mark u as visited
   for all vertex v, if it is adjacent with u, do
      if v is not visited, then
         traverse(v, visited)
   done
End

isConnected(กราฟ)

ป้อนข้อมูล - กราฟ

ผลลัพธ์ − เป็นจริงหากเชื่อมต่อกราฟ

Begin
   define visited array
   for all vertices u in the graph, do
      make all nodes unvisited
      traverse(u, visited)
      if any unvisited node is still remaining, then
         return false
   done
   return true
End

isEulerian(กราฟ)

ป้อนข้อมูล - กราฟที่กำหนด

ผลลัพธ์ − คืนค่า 0 เมื่อไม่ใช่ออยเลอร์ 1 เมื่อมีเส้นทางออยเลอร์ 2 เมื่อพบวงจรออยเลอร์

Begin
   if isConnected() is false, then
      return false
   define list of degree for each node
   oddDegree := 0

   for all vertex i in the graph, do
      for all vertex j which are connected with i, do
         increase degree
      done
      if degree of vertex i is odd, then
         increase dooDegree
   done

   if oddDegree > 2, then
      return 0
   if oddDegree = 0, then
      return 2
   else
      return 1
End

ตัวอย่าง

#include<iostream>
#include<vector>
#define NODE 5
using namespace std;

int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 1, 1, 0},
   {1, 0, 1, 0, 0},
   {1, 1, 0, 0, 0},
   {1, 0, 0, 0, 1},
   {0, 0, 0, 1, 0}
};
                               
/* int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 1, 1, 1},
   {1, 0, 1, 0, 0},
   {1, 1, 0, 0, 0},
   {1, 0, 0, 0, 1},
   {1, 0, 0, 1, 0}
};
*/    //uncomment to check Euler Circuit
                               
/* int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 1, 1, 0},
   {1, 0, 1, 1, 0},
   {1, 1, 0, 0, 0},
   {1, 1, 0, 0, 1},
   {0, 0, 0, 1, 0}
};
*/    //Uncomment to check Non Eulerian Graph
               
void traverse(int u, bool visited[]) {
   visited[u] = true;    //mark v as visited

   for(int v = 0; v<NODE; v++) {
      if(graph[u][v]) {
         if(!visited[v])
            traverse(v, visited);
      }
   }
}

bool isConnected() {
   bool *vis = new bool[NODE];
   //for all vertex u as start point, check whether all nodes are visible or not
   for(int u; u < NODE; u++) {
      for(int i = 0; i<NODE; i++)
         vis[i] = false;    //initialize as no node is visited
               
      traverse(u, vis);
         
      for(int i = 0; i<NODE; i++) {
         if(!vis[i])    //if there is a node, not visited by traversal, graph is not connected
            return false;
      }
   }
   return true;
}

int isEulerian() {
   if(isConnected() == false)    //when graph is not connected
      return 0;
   vector<int> degree(NODE, 0);
   int oddDegree = 0;

   for(int i = 0; i<NODE; i++) {
      for(int j = 0; j<NODE; j++) {
         if(graph[i][j])
            degree[i]++;    //increase degree, when connected edge found
      }

      if(degree[i] % 2 != 0)    //when degree of vertices are odd
         oddDegree++; //count odd degree vertices
   }

   if(oddDegree > 2)    //when vertices with odd degree greater than 2
      return 0;
         
   return (oddDegree)?1:2;    //when oddDegree is 0, it is Euler circuit, and when 2, it is Euler path
}

int main() {
   int check;
   check = isEulerian();

   switch(check) {
      case 0: cout << "The graph is not an Eulerian graph.";
         break;
      case 1: cout << "The graph has an Eulerian path.";
         break;
      case 2: cout << "The graph has a Eulerian circuit.";
         break;
   }
}

ผลลัพธ์

The graph has an Eulerian path.