เช่นเดียวกับที่เราทราบ รูปห้าเหลี่ยม (Pentagons) และหกเหลี่ยม (Hexagons) เป็นส่วนสำคัญของลูกบอลฟุตบอล รูปทรงเหล่านี้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์แบบเหมือนปริศนา (Puzzle) เพื่อสร้างรูปทรงกลมที่สมบูรณ์แบบ ดังนั้นเราจึงมีลูกบอลฟุตบอล ซึ่งเราต้องหาจำนวนหกเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม
เราจะใช้ Euler Characteristic (ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์) เพื่อแก้ปัญหานี้อย่างง่ายดาย Euler Characteristic คือตัวเลขที่ใช้บรรยายรูปทรงหรือโครงสร้างเฉพาะของพื้นที่ทอพอโลจิคัล (Topological Space) ใดๆ เราสามารถใช้มันคำนวณจำนวนรูปห้าเหลี่ยมและหกเหลี่ยมบนลูกบอลฟุตบอลได้
ใน Euler Characteristic:
- χ(S) - จำนวนเต็มสำหรับพื้นที่ผิว S เฉพาะ
- F - ใบหน้า (Faces)
- G - กราฟ (Graph)
- V - จุดยอด (Vertices)
- E - ขอบ (Edges) ที่ฝังอยู่ใน S
เรามี:
V - E + F = χ(S)
V - E + F = 2 ......(A) {สำหรับทรงกลม χ(S) = 2}
ให้ จำนวนห้าเหลี่ยมเป็น P และจำนวนหกเหลี่ยมเป็น H
จำนวนจุดยอด จะเป็น:
จุดยอด 6 จุดของหกเหลี่ยม (6×H) + จุดยอด 5 จุดของห้าเหลี่ยม (5×P)
จำนวนจุดยอด V = (6×H + 5×P) แต่เรานับจุดยอดแต่ละจุด 3 ครั้ง
ดังนั้น จำนวนจุดยอด V = (6×H + 5×P) / 3 ......(1)
จำนวนขอบ จะเป็น:
ขอบ 6 เส้นของหกเหลี่ยม (6×H) + ขอบ 5 เส้นของห้าเหลี่ยม (5×P)
จำนวนขอบ E = (6×H + 5×P) แต่ขอบแต่ละเส้นถูกนับ 2 ครั้ง
ดังนั้น จำนวนขอบ E = (6×H + 5×P) / 2 ......(2)
จำนวนใบหน้า จะเป็น:
จำนวนหกเหลี่ยม (H) + จำนวนห้าเหลี่ยม (P)
F = (H + P) ......(3)
ใช้ (1), (2) และ (3) ในสมการ (A)
V - E + F = 2 [(6×H + 5×P)/3] - [(6×H + 5×P)/2] + (H + P) = 2
แก้สมการ:
P = 12
เพื่อคำนวณจำนวนหกเหลี่ยม เรารู้ว่าหกเหลี่ยมหนึ่งรูปล้อมรอบห้าเหลี่ยมหนึ่งรูป แต่เรานับหกเหลี่ยมแต่ละรูป 3 ครั้ง สำหรับห้าเหลี่ยมที่อยู่ติดกันแต่ละรูป
จำนวนหกเหลี่ยม = 5 × P / 3 = (5 × 12) / 3
H = 20
สุดท้าย เราพบว่าลูกบอลฟุตบอลมี:
จำนวนหกเหลี่ยม - 20
จำนวนห้าเหลี่ยม - 12
สรุป
ดังนี้คือวิธีที่เราสามารถหาจำนวนห้าเหลี่ยมและหกเหลี่ยมบนลูกบอลฟุตบอลโดยใช้ Euler Characteristic รูปห้าเหลี่ยมและหกเหลี่ยมเล่นบทบาทสำคัญในการสร้างรูปทรงของลูกบอลฟุตบอล ทั้งสองรูปทรงถูกปิดบังรวมกันเพื่อสร้างรูปทรงกลมของลูกบอลฟุตบอล ดังที่เห็นในคำตอบข้างต้น เราใช้สมการต่างๆ เพื่อได้จำนวนห้าเหลี่ยมและหกเหลี่ยมที่ต้องการบนลูกบอลฟุตบอล
