หา Trace ของแมทริกซ์จากการบวก Row-major และ Column-major ใน C++

บทนำ

ในบทช่วยสอนนี้ เราจะหา Trace (แทรซ/ผลรวมแนวทแยง) ของแมทริกซ์ที่ได้จากการบวก Row-major matrix และ Column-major matrix ของออเดอร์เดียวกัน

Row-major vs Column-major

Order 3×3:

Row-major: Column-major:

ขั้นตอนการแก้ปัญหา

1. สร้าง Row-major matrix (เติมแถวก่อนคอลัมน์)
2. สร้าง Column-major matrix (เติมคอลัมน์ก่อนแถว)
3. บวกแมทริกซ์ทั้งสอง
4. หา Trace (ผลรวม diagonal: result[i][i])

ตัวอย่างโค้ด

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int traceOfRowAndColumnMajorMatrices(int m, int n) {
    int row_major[m][n], column_major[m][n], addition_result[m][n], count = 1;
    
    // Row-major: เติมแถว
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            row_major[i][j] = count++;
        }
    }
    
    count = 1;
    // Column-major: เติมคอลัมน์
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            column_major[j][i] = count++;
        }
    }
    
    // บวกแมทริกซ์
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            addition_result[i][j] = row_major[i][j] + column_major[i][j];
        }
    }
    
    // หา Trace
    int trace = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        trace += addition_result[i][i];
    }
    return trace;
}

int main() {
    int m = 3, n = 3;
    cout << traceOfRowAndColumnMajorMatrices(m, n) << endl;
    return 0;
}

ผลลัพธ์

30

คำนวณ: (1+1)+(5+5)+(9+9) = 2+10+18 = 30

สูตรทั่วไป

สำหรับแมทริกซ์ m×n (m=n):
Trace = Σ(i=0 to n-1) [ (i×n + i + 1) + (i + i×n + 1) ] = Σ 2(i×n + i + 1)
= 2[ nΣi + Σi + n ] = 2[ n×n(n-1)/2 + n(n-1)/2 + n ] = n²(n+1)

สำหรับ n=3: 3²×4 = 36? รอ... ต้องตรวจสอบอีกครั้ง

จริงๆ Row-major[i][i] = i×n + i + 1, Column-major[i][i] = i + i×n + 1 = เหมือนกัน!
ดังนั้น Trace = 2 × Σ(i×n + i + 1) = 2 × [n(n-1)/2 × (n+1) + n] = n(n-1)(n+1) + 2n = n(n²-1) + 2n = n³ + n

n=3: 27+3=30 ✓

สรุป

Trace = n³ + n สำหรับแมทริกซ์ n×n สามารถคำนวณได้ O(1) โดยไม่ต้องสร้างแมทริกซ์ หากมีคำถาม สามารถถามได้ในส่วนความคิดเห็นครับ