ความหมาย
Interval-scaled variables (ตัวแปรสเกลช่วง) เป็นข้อมูลต่อเนื่อง (continuous data) บนสเกลที่ประมาณเป็นเชิงเส้น (approximately linear scale) ตัวอย่าง เช่น น้ำหนัก (weight) และ ส่วนสูง (height), พิกัดละติจูดและลองจิจูด (latitude and longitude coordinates) (เช่น เมื่อจัดกลุ่มบ้าน), และ อุณหภูมิอากาศ (weather temperature) หน่วยการวัดที่ใช้สามารถส่งผลต่อการวิเคราะห์การจัดกลุ่ม (clustering analysis)
ตัวอย่าง การเปลี่ยนหน่วยข้อมูลจากเมตรเป็นนิ้วสำหรับความสูง หรือจากกิโลกรัมเป็นปอนด์สำหรับน้ำหนัก สามารถนำไปสู่โครงสร้างการจัดกลุ่มที่แตกต่างกันได้ โดยทั่วไป การนิยามตัวแปรในหน่วยที่เล็กกว่าจะนำไปสู่ช่วงที่สูงกว่าสำหรับตัวแปรนั้น และดังนั้นมีผลกระทบมากขึ้นต่อโครงสร้างการจัดกลุ่มที่ได้
การมาตรฐาน化ข้อมูล (Data Standardization)
เพื่อป้องกันการพึ่งพาการเลือกหน่วยข้อมูล ข้อมูลต้องถูกมาตรฐาน化 (standardized) การมาตรฐานการวัด (Standardizing measurements) พยายามให้ตัวแปรทุกตัวมีน้ำหนักเท่ากัน (equal weight) นี่เป็นประโยชน์โดยเฉพาะเมื่อไม่มีความรู้ล่วงหน้าเกี่ยวกับข้อมูล แต่ในบางแอปพลิเคชัน ผู้ใช้อาจตั้งใจให้ความสำคัญ (weight) มากกว่ากับชุดตัวแปรเฉพาะมากกว่าอื่นๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อจัดกลุ่มผู้สมัครนักบาสเกตบอล อาจชอบให้น้ำหนักมากกว่ากับตัวแปรความสูง (height)
เพื่อทำให้ข้อมูลมาตรฐาน ตัวเลือกหนึ่งคือการแปลงข้อมูลต้นฉบับเป็นตัวแปรที่ไม่มีหน่วย (unit less variables) กำหนดการวัดสำหรับตัวแปร f สามารถทำได้ดังนี้:
1. คำนวณ Mean Absolute Deviation (ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย) sf
$$\mathrm{s_{f}\:=\:\frac{1}{n}(|x_{1f}-m_{f}|+|x_{2f}-m_{f}|+\cdot\cdot\cdot+|x_{nf}-m_{f}|)}$$
โดยที่ x1f … xnf เป็นการวัด n ครั้งของ f และ mf คือ ค่าเฉลี่ยของ f นั่นคือ $\mathrm{m_{f}\:=\:\frac{1}{n}(|x_{1f}|+|x_{2f}|+\cdot\cdot\cdot+|x_{nf}|)}$
2. คำนวณ Standardized Measurement หรือ Z-score
$$\mathrm{z_{if}\:=\:\frac{x_{if}-m_{f}}{s_{f}}}$$
Mean absolute deviation, sf ทนทานต่อ outliers (ค่าผิดปกติ) มากกว่า standard deviation, $\mathrm{\sigma_{f}}$ เมื่อคำนวณ mean absolute deviation ส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย $\mathrm{(|x_{1f}-m_{f}|)}$ ไม่ได้ยกกำลังสอง ดังนั้น ผลกระทบของ outliers จึงลดลง มีขนาดวัดการกระจายที่ทนทาน (robust measures of dispersion) อื่นๆ รวมถึง median absolute deviation ข้อดีของการใช้ mean absolute deviation คือ z-scores ของ outliers ไม่เล็กเกินไป ดังนั้น outliers ยังคงตรวจจับได้ (detectable)
การมาตรฐาน化อาจหรืออาจไม่ช่วยในแอปพลิเคชันเฉพาะ ดังนั้น การเลือกว่าจะทำ standardization หรือไม่ และทำอย่างไร ควรปล่อยให้ผู้ใช้ตัดสินใจ หลังจาก standardization หรือไม่ standardization ในแอปพลิเคชันเฉพาะ ความไม่คล้ายคลึง (dissimilarity) (หรือความคล้ายคลึง similarity) ระหว่างวัตถุที่นิยามโดย interval-scaled variables โดยทั่วไปคำนวณจากระยะทางระหว่างแต่ละคู่ของวัตถุ
Distance Measures (ขนาดวัดระยะทาง)
Distance measure ที่มีชื่อเสียงคือ Euclidean distance ซึ่งแทนด้วย:
$$\mathrm{d(i, j)=\sqrt{(X_{i1}-X_{j1}})^2+{(X_{i2}-X_{j2}})^2+...+{(X_{in}-X_{jn}})^2}$$
โดยที่ i = (xi1, xi2, … xin) และ j = (xj1, xj2, … xjn) เป็นวัตถุข้อมูล n มิติ สองตัว
Metric อื่นที่รู้จักดีคือ Manhattan (หรือ city block) distance นิยามว่า:
$$\mathrm{d(i, j)=|X_{i1}-X_{j1}|+ |(X_{i2}-X_{j2}|+...+|(X_{in}-X_{jn}|}$$
ทั้ง Euclidean distance และ Manhattan distance ตอบสนองข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ของ distance function:
d(i, j) ≥ 0: ระยะทางเป็นจำนวนไม่ติดลบ (nonnegative number)
d(i, i) = 0: ระยะทางของวัตถุไปยังตัวมันเองคือ 0
d(i, j) = d(j, i): ระยะทางเป็นฟังก์ชันสมมาตร (symmetric function)
d(i, j) ≤ d(i, h)+d(h, j): การไปโดยตรงจากวัตถุ i ไปวัตถุ j ในพื้นที่ ไม่มากกว่าการเลี้ยวผ่านวัตถุ h ใดๆ (triangular inequality)
