หาค่า Least squares fit ของอนุกรมเชบิเชฟต่อข้อมูลใน Python

หากต้องการหาการเข้าสมดุลแบบ least-squares ของอนุกรมเชบิเชฟ (Chebyshev series) ต่อข้อมูล ให้ใช้ chebyshev.chebfit() ใน Python NumPy

เมธอดคืนค่าสัมประสิทธิ์เชบิเชฟ เรียงจากอันดับต่ำไปสูง หาก y เป็น 2 มิติ สัมประสิทธิ์สำหรับข้อมูลในคอลัมน์ k ของ y จะอยู่ในคอลัมน์ k

พารามิเตอร์สำคัญ

• x: พิกัด x ของจุดข้อมูล M จุด (x[i], y[i])
• y: พิกัด y ของจุดตัวอย่าง ชุดข้อมูลหลายชุดที่มีพิกัด x เหมือนกันสามารถ fit พร้อมกันได้โดยให้ y เป็นอาร์เรย์ 2 มิติ
• deg: อันดับของพหุนามที่ fit หากเป็น integer เดียว จะรวมทุกพจน์จนถึงอันดับ deg
• rcond: เลข شرطสัมพัทธ์ (relative condition number) ค่า singular values ที่เล็กกว่า rcond เทียบกับค่าสูงสุดจะถูกข้าม (default: len(x)*eps)
• full: สลับรูปแบบการคืนค่า False (default) = คืนแค่สัมประสิทธิ์, True = คืนข้อมูล診斷จาก SVD ด้วย
• w: น้ำหนัก (weights) สำหรับ residual หากไม่ใช่ None จะน้ำหนัก w[i] ให้กับ residual ที่ x[i]

ขั้นตอนการใช้งาน

1. นำเข้าไลบรารีที่จำเป็น

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

2. สร้างพิกัด x

x = np.linspace(-1, 1, 51)

3. แสดงพิกัด x

print("X Co-ordinate...\n", x)

4. สร้างพิกัด y (พร้อม noise แบบสุ่ม)

y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n", y)

5. หา least-squares fit ด้วย chebyshev.chebfit() (deg=3, full=True)

c, stats = C.chebfit(x, y, 3, full=True)
print("\nResult (coefficients)...\n", c)
print("\nResult (stats)...\n", stats)

ตัวอย่างโค้ดเต็ม

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# พิกัด x
x = np.linspace(-1, 1, 51)
print("X Co-ordinate...\n", x)

# พิกัด y: x³ - x + noise
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n", y)

# Least-squares fit อนุกรมเชบิเชฟอันดับ 3
c, stats = C.chebfit(x, y, 3, full=True)
print("\nResult (coefficients)...\n", c)
print("\nResult (stats)...\n", stats)

ผลลัพธ์ที่ได้ (ตัวอย่าง - จะเปลี่ยนแปลงไปตาม random seed)

X Co-ordinate...
 [-1.  -0.96 -0.92 ... 0.96 1.]
Y Co-ordinate...
 [ 0.04578661 -0.41009751 ... 0.46429998]
Result (coefficients)...
 [-0.12730537 -0.08699379 -0.4211565   0.32959334]
Result (stats)...
 [array([43.34485511]), 4, array([1.20144978, 1.19227163, 0.76058422, 0.74600162]), 1.1324274851176597e-14]

คำอธิบายเพิ่มเติม

ในตัวอย่าง พยายาม fit ฟังก์ชัน y = x³ - x ที่มี noise ด้วยอนุกรมเชบิเชฟอันดับ 3

สัมประสิทธิ์ที่ได้: [-0.127, -0.087, -0.421, 0.330] แทน:

C(x) = -0.127·T₀ - 0.087·T₁ - 0.421·T₂ + 0.330·T₃

สถิติ (stats) เมื่อ full=True:

• Singular values: ค่าเอกค่าของเมทริกซ์ออกแบบ
• Rank: อันดับของเมทริกซ์
• rcond: ค่าเกณฑ์สำหรับการตัดค่า singular values เล็ก
• Residuals: ผลรวมกำลังสองของ residuals

ข้อดีของการ fit ด้วยเชบิเชฟ:

• เสถียรทางตัวเลขดีกว่าพหุนามมาตรฐาน (Vandermonde matrix)
• กระจายข้อผิดพลาดอย่างสม่ำเสมอ (minimax property)
• เหมาะสำหรับ interpolation และ approximation