โปรแกรม Java หาผลรวมอนุกรม n² - (n-1)²

วิเคราะห์อนุกรม

พจน์ที่ n: T(n) = n² - (n-1)² = n² - (n² - 2n + 1) = 2n - 1

ผลรวม n พจน์แรก: S(n) = Σ(2i - 1) = 2Σi - Σ1 = 2(n(n+1)/2) - n = n²

สรุป: ผลรวม = n²

ตัวอย่างโค้ด (ใช้สูตรตรง - O(1))

public class Demo {
    // คำนวณ n² mod 1000000007
    static final long MOD = 1_000_000_007L;
    
    public static long computeSum(long n) {
        n %= MOD;
        return (n * n) % MOD;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        long n = 45687234;
        System.out.println("Sum of series (n^2) mod 1e9+7: " + computeSum(n));
    }
}

ผลลัพธ์

Sum of series (n^2) mod 1e9+7: 335959495

คำอธิบาย: อนุกรม n² - (n-1)² ทำให้เกิด telescoping series ผลรวม = n² ใช้ modular arithmetic ป้องกัน overflow

การพิสูจน์ Telescoping

S(n) = [1² - 0²] + [2² - 1²] + [3² - 2²] + ... + [n² - (n-1)²]
     = n² - 0² (terms กลางตัดกันทุกคู่)
     = n²